[수학도서추천-수행평가] 데데킨트가 들려주는 실수 1 이야기

추천 이유

수(數)는 인류가 양이나 개수를 표현하는 기호다. 다양한 수를 사용해 오다가 10진법 수인 아라비아 숫자가 사용이 편리해 가장 많이 사용된다. 컴퓨터는 2진수를 사용하지만 출력값을 사람에게 보여주거나 입력을 받을 때는 거의 10진수를 사용한다. 중학교에서는 수의 실수 범위까지 배우고, 고등학교에서 허수를 배워서 복소수를 다룰 수 있게된다. 실수는 유리수와 무리수로 나뉘고 유리수는 정수와 유한소수 순환소수로 이루어진다. 무리수는 분수의 형태로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수다. 원주율도 무리수다. 이 책에서는 무리수의 발견과정 부터 무리수 연산방법을 배울 수 있다.

도서정보

피타고라스의 정리

유명한 피타고라스의 정리는 직각삼각형의 변들의 관계다. 이 정리에서 직각을 사이각으로 하는 변 a, b 가 있고 빗변이 c 일때 $a^2 + b^2 = c^2$ 이다. 예를 들어 $a = 3,\quad b = 4$ 면 $3^2 + 4^2 = 5^2$ 이므로 $c=5$ 다.

무리수

그런데, $a, b$ 의 길이가 1인 직각이등변 삼각형의 변의 관계를 피타고라스 정리를 이용하면 $1 + 1 = c^2$ 다. 이때 $c$ 값은 정수나 분수로 나타낼 수 없다. $c$는 제곱해서 2가 되는 수로 이 수가 무리수다. 이 수를 표현하기 위해 제곱근 부호를 사용해 $\sqrt{2}$ 다.

사각형의 면적구하기

사각형의 면적은 '가로 x 세로'로 구한다. 정사각형 면적이 $4$ 면 변의 길이는 $2$ 이고, 면적이 $9$ 면 변의 길이는 $3$ 이다. 그런데 정사각형 면적이 $2$ 이거나 $3$ 일때 변의 길이는 정수나 분수로 구할 수 없다. 이때 변의 길이가 무리수다.

원주율(π)는 무리수

원의 둘레를 지름으로 나눈 값인 원주율(π)도 정수나 분수로 표현할 수 없다. 컴퓨터를 이용해 소수점 아래 수십억 자리, 수조 자리까지 계산을 했지만 무한한 수다.

무리수의 연산

수는 연산을 하지못하면 활용할 수 없다. 수학자들은 무리수의 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 등 사칙연산 방법을 찾았다. 즉 무리수는 사칙연산에 닫혀있다.

연산의 결과가 연산의 대상이 되는 수와 같은 종류여야 한다. 유리수와 무리수를 포함하는 수 체계에서 숫자 간의 연산의 결과는 유리수나 무리수가 되어야 하는데, 이런 조건을 만족하면 수학에서는 닫혀있다(closed) 라고 한다. 연산 결과가 유리수나 무리수가 아닌 허수가 나온다면, 그 연산결과를 가지고는 더 이상 유리수나 무리수에 정의된 사칙연산 방법으로 연산 할 수 없다.

무리수의 곱셈 결과로 새로운 무리수를 얻을 수 있다

무리수의 나눗셈 연산은 연산 대상의 분모가 무리수가 되지 않는 것이 중요하고, 분모가 무리수면 분자 분모에 같은 무리수를 곱해서 유리화 하는 과정을 거친다.

(끝)