[수학도서 추천 - 수행평가] 알콰리즈미가 알려준 이차방정식 이야기

추천 이유

중학생이 되면 이차방정식을 인수분해하고 근(해)을 구하는 방법을 배운다. 근의 공식을 단순히 사용하기 보다는 수학자 알 콰리즈미의 기하에서 이차방정식으로 연결되는 이야기에서 근를 구하는 방식을 알아보고, 같은 방법으로 어떻게 근의 공식이 얻어지는지 배울 수 있다.

도서정보

알콰리즈미와 이차방정식

페르시아 수학자로 대수학의 아버지 로 유명하다. 페르시아 사람으로 출생지는 현재 우즈베키스탄 지역이고 거주지는 바그다드였다. 일차방정식과 이차방정식의 해법을 기록한 책을 남겼다. 특히 이차방정식을 풀기위한 대수적 방법외에 기하적 방법을 알려주고 있다. 기하적 방법으로 이차방정식의 해를 구하는 아이디어를 알고 나면 수학문제의 해결에는 다양한 방법이 있단 것을 알게 된다.

정사각형을 이용한 근 구하기 (기하를 이용한 근 구하기)

한변의 길이가 $x + 5$ 인 정사각형의 면적이 64 일 때 $x$ 를 구하는 문제를 생각해 보자.

이 정사각형의 면적은 변의 길이의 제곱이다.

양변에 제곱근을 쒸우고, 변의 길이는 양수라는 조건을 이용하면 $x$는 $3$ 이라는 근을 구할 수 있다.

처음에 정사각형의 면적을 구하는 식은 이차방정식이다. 그렇다면 같은 방법으로 이차방정식의 근를 구할 수 있다는 것이 아이디어이다.

위에서 양변에 제곱근을 적용할때 아래 대수 법칙이 사용되었다는 것은 알아두자.

(대수법칙) 양변에 동일한 함수(제곱근)을 적용하면 등식이 성립한다.

이차방정식 근

이차방정식은 다음과 같은 형태(일반항)를 가진다. $a, b, c$ 가 고정된 상수값인 어떤 실수를 표현할때, $x$ 의 값을 구하는 문제가 이차방정식의 근을 구하는 문제다. 물론 이차방정식이 되려면 $a$ 는 $0$ 이 아니다.

이차방정식의 해를 구하는 방법은 인수분해를 통해 구하거나 인수분해가 안되면 근의 공식을 이용한다. 근의 공식은 마냥 외우는 것보다 대수의 기본법칙을 이용해 전개해서 구하는 연습을 해두면 좋다. 전개하는 방법은 정사각형의 면적을 구할 때 처럼 $x$에 대한 완전제곱식 형태로 식을 변형하는 것이다.

변형을 하려면 가장 먼저 위이차항의 계수를 1로 만든다.

(대수법칙) 0이 아닌 같은 수를 양변에 곱하거나 나누어도 등식이 성립한다

다음으로 좌변을 $x$ 에 대한 항을 남기고 우변은 상수항만 남긴다. 그리고 좌변을 $x$ 에 대한 완전제곱식으로 변환하기 위해 필요한 항들을 더한다.

(대수법칙) 등식 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 등식은 성립한다.(이항과 같다)

여기서 좌변이 $x$ 에 대한 완전제곱식의 형태므로 아래같이 변환한다.

즉, 정사각형의 면적을 구하는 방식처럼 식을 변환하면 자연스럽게 근의 공식이 만들어 진다. 완전제곱식을 이용한다는 개념을 알고 있으면 공식을 깜빡 한 경우도 충분히 공식을 유도해 낼 수 있다.

위 과정을 보면 근과 계수의 관계도 알 수 있다. $x$의 두 근을 $p, q$ 라고 하자. 이때 $x$의 이차항의 계수가 $a$ 면 이차식의 모습은 아래와 같다.

이것을 전개하면 아래와 같고,

이 식을 자세히 보면 두 근의 합과 근은 아래와 같다.

즉, 근의 공식을 사용하지 않고 근과 계수와의 관계를 이용해 근을 구할 수 있다.

(끝)